法國布爾巴基學派有哪些主要工作

『壹』 數學!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

名稱來源

數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。
我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。

數學史

基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。
今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究，之後會發現許多應用。
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。

[編輯本段]數學的本質
數學的本質是什麼？為什麼數學可以運用在所有的其它科目上？
數學是研究事物數量和形狀規律的科目。
如果要深入的研究其本質及其擴展問題，就必須引入【全集然文明】專有名詞了。
其實數學的本質是：一門研究【儲空】的科目。
自然萬物都有其存儲的空間，這種現象稱之為【儲空】。
要判斷一個事物是否為「儲空」其實很簡單：只要能夠套入「在××里」的××就是「儲空」（包括具體和抽象）。於是大家將會發現，所有的事物都可以套入其中，也就是說：自然萬物都只是不同的「儲空」而已。
於是人們也發現：【代數】就是研究【儲空量】的科目；【幾何】就是研究【儲空形狀】的科目。而既然自然萬物都只是不同的儲空而已，那麼數學當然也就可以通用於所有的科目之中了！

1.更多的證據

因為一個除真空外的儲空都是有【儲隔】（儲空隔膜）的，於是人們在其它科目中使用數字就必須用【單位】來區分各種不同的儲空，如：個、頭、條、小時、牛、焦耳、歐姆、安培等等，可以說離開了單位，數字幾乎毫無意義。
並且各種名詞的【定義】也是相關儲空的儲隔，就是區別於其他事物的地方。

2.新數學等式和計算模型

異儲空計算模型
異儲空等式【異儲空等式】比如：1個人 異等於 5個蘋果 ，就是說：一個人可以得到5個蘋果，或一個人和5個蘋果相聯系（任何聯系都可以）；異等號就是等號=下面加個o（儲空標志）；這樣就可以簡單的描述很多日常生活中碰到的計算。而且您還可以通過右圖的【異儲空計算模型】（最簡單的模型），來計算一些事物。

3.其他幾何領域

當然有，其實一直都有兩個巨大的幾何領域被人們長期的忽視，那就是【文字幾何】與【功能幾何】。
（1）文字幾何：當一些有特定含義的文字按照特殊的組合和形狀排列下來就會出現各種特殊的功能和特性。就像我們最常見的「化學元素周期表」、「文字圖表」、「數學計算模型」等等。
（2）功能幾何：各種形狀都是擁有各種不同的功能的！如球形可以做大容量的容納物質，交叉有利於物質傳播等等。所以我們應該仔細研究和探討各種形狀的各種特殊功能！
使用全集然文明邏輯：如果自然萬物有共同的本質和規律，那麼它們必然可以用來推導各個科目的本質和規律，並推理出該科目內的新內容。於是我們發現了數學就是研究「儲空」的一個科目，並推理出了各種新領域。
註：等式、四則運算、解方程式的本質都可以用【儲空】內部規律推理出來
[編輯本段]數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。
數量
數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數猜想及哥德巴赫猜想。
當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成復數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
空間
空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
基礎與哲學
為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向「無窮大」進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，就連被譽為「博大精深，富於創舉」的數學家Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是「神經質」，「走進了超越數的地獄」.對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：「我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」他還指出：「數學的本質在於它的自由性，不必受傳統觀念束縛。」這種爭辯持續了十年之久。Cantor由於經常處於精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最後死於精神病院。
然而，歷史終究公平地評價了他的創造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。
數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。
恩格斯說：「數學是研究現定世界的數量關系與空間形式的科學。」
[編輯本段]數學的分類
離散數學
模糊數學

數學的五大分支

1.經典數學
2.近代數學
3.計算機數學
4.隨機數學
5.經濟數學

數學分支

1.算術
2.初等代數
3.高等代數
4. 數論
5.歐式幾何
6.非歐式幾何
7.解析幾何
8.微分幾何
9.代數幾何
10.射影幾何學
11.幾何拓撲學
12.拓撲學
13.分形幾何
14.微積分學
15. 實變函數論
16.概率和統計學
17.復變函數論
18.泛函分析
19.偏微分方程
20.常微分方程
21.數理邏輯
22.模糊數學
23.運籌學
24.計算數學
25.突變理論
26.數學物理學

廣義的數學分類

從縱向劃分：
1.初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。
2.變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。
3.近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。
4.現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。
註：希爾伯特的23個問題——
在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。 現在只列出一張清單：
（1）康托的連續統基數問題。
（2）算術公理系統的無矛盾性。
（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
（4）兩點間以直線為距離最短線問題。
（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。
（7）某些數的超越性的證明。
（8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。
（9）一般互反律在任意數域中的證明。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
（11）一般代數數域內的二次型論。
（12）類域的構成問題。
（13）一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。
（14）某些完備函數系的有限的證明。
（15）建立代數幾何學的基礎。
（16）代數曲線和曲面的拓撲研究。
（17）半正定形式的平方和表示。
（18）用全等多面體構造空間。
（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？
（20）研究一般邊值問題。
（21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
（22）用自守函數將解析函數單值化。
（23）發展變分學方法的研究。
從橫向劃分：
1.基礎數學（Pure Mathematics）。又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關系。
2.應用數學（Applied mathematics）。簡單地說，也即數學的應用。
3 .計算數學（Computstion mathematics）。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算復雜性、程序設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。
4.概率統計（Probability and mathematical statistics）。分概率論與數理統計兩大塊。
5.運籌學與控制論（Op-erations research and csntrol）。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的復雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的一門學科。
[編輯本段]符號、語言與嚴謹
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。
我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
[編輯本段]數學的發展史

世界數學發展史

數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικ??（mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於μ?θημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。
數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」
[編輯本段]國外數學名家

高斯

數 學 天 才 —— 高 斯
高斯是德國數學家、物理學家和天文學家。
高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出。7歲那年，高斯第一次上學了。
在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。
高斯的學術地位，歷來為人們推崇得很高。他有「數學王子」、「數學家之王」的美稱。

牛頓

牛頓是英國物理學家和數學家。
在學校里，牛頓是個古怪的孩子，就喜歡自己設計、自己動手，做鳳箏、日規、滴漏之類器物。他對周圍的一切充滿好奇，但並不顯得特別聰明。
後來，家裡叫他停學，到他母親的農場上去幫忙。在他母親的農場上，看到一個蘋果落在地上，便開始捉摸，這種將蘋果往下拉的力會不會也在控制著月球。由此牛頓推導出物體的下落速度改變率與重力的大小成正比，而重力大小與距地心距離的平方成反比。後來牛頓的棱鏡實驗也使他一舉成名。
牛頓有兩句名言是大家所熟知的。他在一封信中寫道：「如果我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人們的肩上。」據說他還講過：「我不知道世人對我怎麼看；但在我自己看來就好像只是一個在海濱嬉戲的孩子，不時地為比別人找到一塊光滑的卵石或一隻更美麗的貝殼而感到高興，而我面前的浩瀚的真理海洋，卻還完全是個謎。

中國古代數學發展史

數學古稱算學，是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。
中國古代數學的萌芽
原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。
商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。
公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。
春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出「矩不方，規不可以為圓」，把「大一」(無窮大)定義為「至大無外」，「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。
而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。
墨家不同意「一尺之棰」的命題，提出一個「非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的「非半」，這個「非半」就是點。
名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。

『貳』 布爾巴基學派的介紹

數學的社會性質從來就存在，但在古代主要表現在它的來源和廣泛應用上，以及成為教育的內容。到近代，數學的研究機構和學術團體得以產生，正式的學術會議也已出現。從第二次世界大戰以來，在這方面又有了新的發展。有了專門的班子從事數學研究，可以說，有組織的集團性研究進一步加強，法國布爾巴基學派就是一個典型代表。

『叄』 布爾巴基學派的工作影響

布爾巴基成員力圖把整個數學建立在集合論的基礎上，盡管這一開始就遭到了許多人的反對。幾十年上百年形成的代數幾何學，它那大大小小的眾多成果，能不能在抽象代數和拓撲的基礎上構成一座嚴整的數學大廈，這一問題就成了布爾巴基觀點的試金石。1935年底，布爾巴基的成員們一致同意以數學結構作為分類數學理論的基本原則。「數學結構」的觀念是布爾巴基學派的一大重要發明。這一思想的來源是公理化方法，布爾巴基採用這一方法，反對將數學分為：分析、幾何、代數、數論的經典劃分，而要以同構概念對數學內部各基本學科進行分類。他們認為全部數學基於三種母結構：代數結構、序結構、和拓撲結構。所謂結構就是「表示各種各樣的概念的共同特徵僅在於他們可以應用到各種元素的集合上。而這些元素的性質並沒有專門指定，定義一個結構就是給出這些元素之間的一個或幾個關系，人們從給定的關系所滿足的條件（他們是結構的公理）建立起某種給定結構的公理理論就等於只從結構的公理出發來推演這些公理的邏輯推論。」於是一個數學學科可能由幾種結構混合而成，同時每一類型結構中又有著不同的層次。比如實數集就具有三種結構：一種由算術運算定義的代數結構；一種順序結構；最後一種就是根據極限概念的拓撲結構。三種結構有機結合在一起，比如李群是特殊的拓撲群，是拓撲結構和群結構相互結合而成。因此，數學的分類不再象過去那樣劃分成代數、數論、幾何、分析等部門，而是依據結構的相同與否來分類。比如線性代數和初等幾何研究的是同樣一種結構，也就說它們「同構」，可以一起處理。這樣，他們從一開始就打亂了經典數學世界的秩序，以全新的觀點來統一整個數學。布爾巴基學派的主要著作是《數學原理》。它對整個數學作完全公理化處理的 第一個目標是研究所謂「分析的基本結構」。這在《數學原理》中屬於第i部分，
第i部分又分為：
第Ⅰ卷 集合論 第Ⅳ卷 一元實變函數
第Ⅱ卷 代數 第Ⅴ卷 拓撲向量空間
第Ⅲ卷 一般拓撲學 第Ⅵ卷 積分論
正如布爾巴基學派所言：「從現在起，數學具有了幾大類型的結構理論所提供的強有力的工具，它用單一的觀點支配著廣大的領域，它們原先處於完全雜亂無章的狀況，現在已經由公理方法統一起來了。」「由這種新觀點出發，數學結構就構成數學的唯一對象，數學就表現為數學結構的倉庫。」 二戰前，布爾巴基只完成了《數學原理》第Ⅰ部分的第Ⅰ卷「集合論」中的一個分冊—「結果」。這本還不到50頁的小冊子在1939年首次出版，之後於1940年出版《一般拓撲學》的第一、第二章，1942年出版第三、第四章及《代數學》的第一 章。這四本書已經反映出布爾巴基精神，而且是《數學原理》的基礎。《數學原理》的各分冊都是按照嚴格的邏輯順序來編排的。在某一處用到的概念或結果，一定都在以前各卷、各分冊中出現過。這種嚴格而精確的風格也有其優 點：所有主要結果都清楚而確切地表述出來，成為一個完美的體系。所以，布爾巴 基的《數學原理》以他的嚴格准確而成為標准參考書，並且是戰後的數學文獻中被人引用次數最多的書籍之一。布爾巴基學派的思想及寫作風格成為青年人仿效的對象，很快地「布爾巴基的」便成了一個專門的名字就風靡了歐美數學界。比如說，眾所周知，在一門科學成熟之前，名詞的運用是非常混亂的，各人自用一套，而每人又有一批追隨者沿襲他的用法，這就造成了互相理解的困難。憑著布爾巴基的各位大師的威望，許多數學名詞，尤其是拓撲學及泛函的新詞，都以布爾巴基為准。正是布爾巴基的《數學原理》使第二次世界大戰以後的數學名詞得到了空前的統一。隨著名詞的統一，使數學符號也統一起來了。數學文獻中最常用的自然數集合、整數集合、有理數集合、實數集合、復數集合，都按布爾巴基的用法分別用 n、z 、q 、r、c 來表示。使布爾巴基更為出名的是他的許多成員在戰前和戰後的工作開始為大家所知，尤其是代數數論、代數幾何學、李群、泛函分析等方面的成就。這使得布爾巴基的活動更加引人注目了。可以說，60年代中期，布爾巴基的聲望達到了頂峰。布爾巴基討論班的議題無疑都是當時數學的最新成就。在國際數學界，布爾巴基的幾位成員都有著重要的影響，連他們的一般報告和著作都引起很多人注意。
在20世紀的數學發展過程中，布爾巴基學派起著承前啟後的作用。他們把人類長期積累起來的數學知識按照數學結構整理成為一個井井有條博大精深的體系。他們的《數學原理》成為一部新的經典著作，還是許多研究工作的出發點與參考指南。這個體系連同他們對數學的貢獻，已經無可爭辯地成為當代數學的一個重要組成部分，並成為蓬勃發展的數學科學的主流。

『肆』 什麼是形式化什麼是形式模型

形式化是現代數學的特徵之一，這一點是無需置疑的。但不少數學家注意到目前我國的數學教學中存在著過度形式化的問題，往往將豐富多彩的數學的思想淹沒在形式化的海洋中，因此，提出了適度「非形式化」的觀點。這一觀點提出的另一理由，是一些數學家提出數學研究的方式正在發生著變化。
1．數學課程和數學教學中存在著過度形式化的現象
20世紀初，以希爾伯特為代表的形式主義學派盛極一時，數學的呈現形式是從一般的集合論開始，用公理體系、邏輯演繹規則。希爾伯特的形式主義哲學觀念，在學術上有重要的價值：數學的研究對象不是某個特定的物質形態，而是「思想材料」；數學是從所有自然現象和社會現象中抽象出來的數量規律。20世紀中葉，法國的布爾巴基學派獨樹一幟，認為數學就是一些結構的組合，無所謂什麼實際意義。這種結構主義的哲學觀，把希爾伯特的形式主義哲學觀更向前推進一步。布爾巴基學派把數學整理了一番，用「結構」把數學知識梳理成一個井然有序的體系，功不可沒。
但是，形式主義強調形式，結構主義把數學看成結構，其共同的問題是容易造成脫離現實。J.v. Neumann 先生早在1947年就說過：「遠離了它的實踐的源泉之後，或者太多『抽象』的近親繁殖之後，數學學科就處在退化危險之中。在開始的時候，款式通常是經典的；當它有跡象表明成為巴洛克式時，那麼，危險的信號就升起了。」 R.Courant先生也針對此尖銳地指出：「兩千年來，掌握一定的數學知識已被視為每個受教育者必須具備的智力。數學在教育中的這種特殊地位，今天正在出現嚴重危機。不幸的是數學教育工作者對此應負其責。數學的教學逐漸流於無意義的單純演算習題的訓練。固然這可以發展形式演算能力，但卻無助於對數學的真正理解，無助於提高獨立思考能力。……忽視應用，忽視數學與其它領域之間的聯系，這種狀況絲毫不能說明形式化方針是對的；在重視智力訓練的人們中必然激起強烈的反感」。
在哲學上，哥德爾的兩個不完備性定理，表明希爾伯特形式主義統一整個數學是不可能的。同時，數學在軍事、經濟、科學技術上的應用遠遠超出「結構」的限制。大約在1970年左右，世界各國的數學家把目光轉向「現實世界」，關注現實的數學問題，數學應用成為數學發展的重要動力之一。這一點前面已有專門的論述。接著，數學的教育形態也跟著發生了變化。從1980年代開始，西方數學教育界提出「非形式化數學教學（informal mathematics teaching）」的口號，要求中小學的數學教學擺脫過度形式化的束縛，主張聯系學生的日常生活實際，增加數學問題的趣味性。總之，把數學呈現為學生容易接受的「教育形態」。

『伍』 代數幾何學的布爾巴基學派

從這時起，代數幾何里開始人才輩出，並且法國的Bourbaki學派在以後代數幾何學發展的光輝歲月里扮演了一個主要角色，Bourbaki學派的主要代表人物之一Weil（韋伊）用更加抽象的觀點寫了一部《代數幾何基礎》，Weil的本意是想用有限域上的代數幾何學來解決代數數論的問題，卻不料搞出了個Weil猜想（不是Deligne證明的那個Weil conjecture），為了證明這個猜想就特意寫了這部抽象的書，從此，代數幾何又進入了Bourbaki時代。後來Serre（塞爾）評價那部書時說：這本三百頁的巨著很難懂，而在20年後又被Grothendieck的更加難懂的《代數幾何原理》所代替「這個《代數幾何原理》就是江湖上傳說的EGA。 Weil在書中充分使用了E.Noether及其學派發展的交換代數理論和語言，提出了代數幾何里的一些重要概念，是代數幾何學發展中的一個里程碑。
所幸的是，書寫出來後，先前那個猜想也被Weil證明了。這個事件意義重大，預示了以後的Bourbaki精神，為了抽象而抽象，而是有著具體的問題背景的，以此為出發點的抽象才是有意義的抽象，才有成效性，才能用來解決更加困難的問題。

『陸』 布爾巴基學派的簡介

在1914年到1918年的大戰中，德國政府和法國政府對於關繫到科學的問題的看法並不一樣。德國人讓他們的學者去研究科學，通過他們的發現以及對發明或者方法的改進來提高軍隊的力量，結果這些都有助於德國戰鬥力的增長。而法國人，至少在戰爭初期一兩年間，認為人人應該上前線，因而年輕的科學家正如其他的法國人一樣也到前線服役。這表現一種民主和愛國主義精神，對此我們只能表示敬佩，但是其後果對於年輕的法國科學家來說卻是可怕的大屠殺。高等師范院校的優秀學生們有三分之二是被戰爭毀掉的。20世紀20年代，一些百里挑一的天才人物如魏伊、德爾薩特、嘉當、迪多涅、薛華荔等進入萬人競試的高等師范學校。但他們沒有碰到什麼年輕教師，而都是些著名的老頭子，基礎課就是由他們負責教授。這些老頭們的確很著名，不過他們只知道他們在20歲或30歲時學的數學，而 對20世紀的數學他們認識得相當模糊。
這個時期，德國數學突飛猛進，涌現了一批第一流的數學家：諾特、西格爾、阿廷、哈塞等等，而法國人還故步自封，對敵國的進展不甚了解，對新興的莫斯科拓撲學派和波蘭的拓撲和泛函分析學派就更是一無所知。而對其他象馮·諾依曼和黎茲的工作也不理解，只知道棲居在自己的函數論的小天地中。在這里，函數論是至尊無上的。不過，法國人中也有代表先進潮流的數學家如e·嘉當；但是，他超出他同時代人的水平20多年，誰也不理解他的工作。（在龐加萊之後，最先理解他的工作的是赫爾曼·外爾，在十年之中，他是唯一理解嘉當的人。）因此除嘉當之外，其他人完全封閉在 函數論當中了，雖然函數論是重要的，但畢竟只代表數學的一部分。
在進入高師的年輕人中，迪多涅，魏伊，亨·嘉當等人，不滿足於法蘭西數學界的現狀，把觸角伸向「函數論王國」之外他們深刻認識到了法國數學同世界先進水平的差距。他們痛切感覺到，如果還繼續搞這個方向，法國的數學就肯定要走進死胡同。當然，法國數學家在函數論方面仍然可以很出色，但是在數學的其他方面，人們就會忘掉法國的數學家了。這就會使法國的二百多年的傳統中斷，因為從費爾馬到龐加萊這些最偉大的數學家都總是具有博大全才的數學家的名聲，他們既能搞算術和代數，又能搞分析和幾何。恰恰是這些有遠見的青年人，在法國科學全面落後的情況下，使法國數學在第二次世界大戰之後又能保持先進水平，而且影響著整個現代數學的發展。可以說，當時打開那些年輕人通往外在世界的通道只有阿達瑪的討論班。阿達瑪是法蘭西學院的教授。在年初，他把他認為最重要的論著分配給打算在討論班上做報告的人。在當時這是件新鮮事，但對青年人的提高大有好處。在1934年阿達瑪退休之後，g·儒利雅以稍稍不同的方式繼續主持這個討論班。以更系統的方式去研究從所有方向上進來的偉大的思想。這批年輕人決心象范·德·瓦爾登整理代數學那樣，從頭來起，把整個數學重新整理一遍，以書的形式來概括現代數學的主要思想，而這也正是布爾巴基學派及其主要著作《數學原理》產生的起源。當時，布爾巴基的大多數成員還不到30歲，年紀稍大些的也不過才30出頭。假如他們年紀再大一些，知識再多一些，他們也就永遠不會開始這項偉大的事業了。布爾巴基的成員以高度的熱情開始進行工作。可是20世紀的數學已經發展到這樣一個程度，即每一位數學家都必須專業化。也許只有少數象龐加萊和希爾伯特這樣的大數學家才能掌握整個數學。而對於普通的數學家，要想對整個領域有一個全面的認識，並能抓住各個分支的內在關系，那是非常困難的。為了達到原來的目標—對數學所有分支中的基本概念加以闡明，然後在此基礎上再集中於專門學科，布爾巴基的成員應該對於他所聽到的所有東西都有興趣，並且在一旦需要時，能夠寫書中的一章，即便那不是他們的專長。因此他們必須從一開始就要忘掉自己的專業。假如他是位狂熱專迷的代數學家，說「我只對代數學有興趣對其它東西一概不感興趣」，那麼他將永遠不會成為布爾巴基的成員。布爾巴基所使用的工作方法極為冗長而且艱苦。他們一年舉行兩三次集會，一旦大家多多少少一致同意要寫一本書或者一章論述某種專題，起草的任務就交給布爾巴基中想要擔任的人。這樣，他就由一個相當泛泛的計劃中開始寫一章或幾章的初稿。一般來說，他可以自由的篩選材料，一兩年之後，將所完成的初稿提交大會，然後一頁不漏地大聲宣讀，接受大家對每個證明的仔細審查，並且受到無情的批評。如果哪一位有前途，有見解的青年被注意到並被邀請參加布爾巴基的一次大會，而且能經受住討論會上「火球般」的攻擊，積極參加討論，就自然而然被吸收為新成員，但如果他只是保持沉默，下次決不會受到邀請。布爾巴基的成員不定期更換，年齡限制在50歲以下。雖然一個過50歲的人仍然可以是一位非常好的並且極富有成果的數學家，但是他很難接受新思想，接受那些比他年輕25到30歲的人的思想。為了避免這種遲早會導致布爾巴基的分裂的緊張關系，因此一開始,就決定布爾巴基的成員都要在50歲退出。在討論會上，短兵相接的批判與反批判，不受年齡的限制，即便兩人相差20歲，也擋不住年輕的責備年紀大的，說他對這個問題什麼也不懂。大家都知道正確對待這種情況的方法是一笑置之。因此，在布爾巴基的成員面前，沒有人敢自誇自己是一貫正確的。有時一個題目要幾易作者，第一個人的原稿被否定，由第二個人重寫，下次大會上第二個人的原稿也許會被撕得粉碎，再由第三個人重新開始。從開始搞某一章到它成書在書店中發賣，其間平均需要經歷8到12年。