法国布尔巴基学派有哪些主要工作

‘壹’ 数学!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

名称来源

数学（mathematics；希腊语：μαθηματικά）这一词在西方源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭意且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意义为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是数和数数的技术。
我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

数学史

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因着和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。
今日，数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，之后会发现许多应用。
创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。

[编辑本段]数学的本质
数学的本质是什么？为什么数学可以运用在所有的其它科目上？
数学是研究事物数量和形状规律的科目。
如果要深入的研究其本质及其扩展问题，就必须引入【全集然文明】专有名词了。
其实数学的本质是：一门研究【储空】的科目。
自然万物都有其存储的空间，这种现象称之为【储空】。
要判断一个事物是否为“储空”其实很简单：只要能够套入“在××里”的××就是“储空”（包括具体和抽象）。于是大家将会发现，所有的事物都可以套入其中，也就是说：自然万物都只是不同的“储空”而已。
于是人们也发现：【代数】就是研究【储空量】的科目；【几何】就是研究【储空形状】的科目。而既然自然万物都只是不同的储空而已，那么数学当然也就可以通用于所有的科目之中了！

1.更多的证据

因为一个除真空外的储空都是有【储隔】（储空隔膜）的，于是人们在其它科目中使用数字就必须用【单位】来区分各种不同的储空，如：个、头、条、小时、牛、焦耳、欧姆、安培等等，可以说离开了单位，数字几乎毫无意义。
并且各种名词的【定义】也是相关储空的储隔，就是区别于其他事物的地方。

2.新数学等式和计算模型

异储空计算模型
异储空等式【异储空等式】比如：1个人 异等于 5个苹果 ，就是说：一个人可以得到5个苹果，或一个人和5个苹果相联系（任何联系都可以）；异等号就是等号=下面加个o（储空标志）；这样就可以简单的描述很多日常生活中碰到的计算。而且您还可以通过右图的【异储空计算模型】（最简单的模型），来计算一些事物。

3.其他几何领域

当然有，其实一直都有两个巨大的几何领域被人们长期的忽视，那就是【文字几何】与【功能几何】。
（1）文字几何：当一些有特定含义的文字按照特殊的组合和形状排列下来就会出现各种特殊的功能和特性。就像我们最常见的“化学元素周期表”、“文字图表”、“数学计算模型”等等。
（2）功能几何：各种形状都是拥有各种不同的功能的！如球形可以做大容量的容纳物质，交叉有利于物质传播等等。所以我们应该仔细研究和探讨各种形状的各种特殊功能！
使用全集然文明逻辑：如果自然万物有共同的本质和规律，那么它们必然可以用来推导各个科目的本质和规律，并推理出该科目内的新内容。于是我们发现了数学就是研究“储空”的一个科目，并推理出了各种新领域。
注：等式、四则运算、解方程式的本质都可以用【储空】内部规律推理出来
[编辑本段]数学研究的各领域
数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连着。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。
数量
数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费马最后定理之着名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生素数猜想及哥德巴赫猜想。
当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：艾礼富数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。
结构
许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。
空间
空间的研究源自于几何－尤其是欧式几何。三角学则结合了空间及数，且包含有着名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演着核心的角色)及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证明，而从来没有由人力来验证过。
基础与哲学
为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。康托（Georg Cantor，1845-1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的存在，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。Cantor的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，就连被誉为“博大精深，富于创举”的数学家Pioncare也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师Kronecker还击Cantor是“神经质”，“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责，Cantor仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。Cantor由于经常处于精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后死于精神病院。
然而，历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家Hilbert在德国传播了Cantor的思想，把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家Russell把Cantor的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关连性。
恩格斯说：“数学是研究现定世界的数量关系与空间形式的科学。”
[编辑本段]数学的分类
离散数学
模糊数学

数学的五大分支

1.经典数学
2.近代数学
3.计算机数学
4.随机数学
5.经济数学

数学分支

1.算术
2.初等代数
3.高等代数
4. 数论
5.欧式几何
6.非欧式几何
7.解析几何
8.微分几何
9.代数几何
10.射影几何学
11.几何拓扑学
12.拓扑学
13.分形几何
14.微积分学
15. 实变函数论
16.概率和统计学
17.复变函数论
18.泛函分析
19.偏微分方程
20.常微分方程
21.数理逻辑
22.模糊数学
23.运筹学
24.计算数学
25.突变理论
26.数学物理学

广义的数学分类

从纵向划分：
1.初等数学和古代数学：这是指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学，古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术，欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。
2.变量数学：是指17--19世纪初建立与发展起来的数学。从17世纪上半叶开始的变量数学时期，可以分为两个阶段：17世纪的创建阶段（英雄时代）与18世纪的发展阶段（创造时代）。
3.近代数学：是指19世纪的数学。近代数学时期的19世纪是数学的全面发展与成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成，整个数学呈现现出全面繁荣的景象。
4.现代数学：是指20世纪的数学。1900年德国着名数学家希尔伯特（D. Hilbert）在世界数学家大会上发表了一个着名演讲，提出了23个预测和知道今后数学发展的数学问题（见下），拉开了20世纪现代数学的序幕。
注：希尔伯特的23个问题——
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的着名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。 现在只列出一张清单：
（1）康托的连续统基数问题。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
（7）某些数的超越性的证明。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
（11）一般代数数域内的二次型论。
（12）类域的构成问题。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
（15）建立代数几何学的基础。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
（17）半正定形式的平方和表示。
（18）用全等多面体构造空间。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
（20）研究一般边值问题。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
（23）发展变分学方法的研究。
从横向划分：
1.基础数学（Pure Mathematics）。又称为理论数学或纯粹数学，是数学的核心部分，包含代数、几何、分析三大分支，分别研究数、形和数形关系。
2.应用数学（Applied mathematics）。简单地说，也即数学的应用。
3 .计算数学（Computstion mathematics）。研究诸如计算方法（数值分析）、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。
4.概率统计（Probability and mathematical statistics）。分概率论与数理统计两大块。
5.运筹学与控制论（Op-erations research and csntrol）。运筹学是利用数学方法，在建立模型的基础上，解决有关人力、物资、金钱等的复杂系统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门学科。
[编辑本段]符号、语言与严谨
在现代的符号中，简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即是由一简单方程所产生的。
我们现今所使用的大部份数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学被文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含着大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。
数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。
严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免错误的“定理”，依着不可靠的直观，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。
[编辑本段]数学的发展史

世界数学发展史

数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ??（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ?θημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。 除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。
从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”
[编辑本段]国外数学名家

高斯

数 学 天 才 —— 高 斯
高斯是德国数学家、物理学家和天文学家。
高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出。7岁那年，高斯第一次上学了。
在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。说完高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去，当时只有他写的答案是正确的。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。
高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称。

牛顿

牛顿是英国物理学家和数学家。
在学校里，牛顿是个古怪的孩子，就喜欢自己设计、自己动手，做凤筝、日规、滴漏之类器物。他对周围的一切充满好奇，但并不显得特别聪明。
后来，家里叫他停学，到他母亲的农场上去帮忙。在他母亲的农场上，看到一个苹果落在地上，便开始捉摸，这种将苹果往下拉的力会不会也在控制着月球。由此牛顿推导出物体的下落速度改变率与重力的大小成正比，而重力大小与距地心距离的平方成反比。后来牛顿的棱镜实验也使他一举成名。
牛顿有两句名言是大家所熟知的。他在一封信中写道：“如果我比别人看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上。”据说他还讲过：“我不知道世人对我怎么看；但在我自己看来就好像只是一个在海滨嬉戏的孩子，不时地为比别人找到一块光滑的卵石或一只更美丽的贝壳而感到高兴，而我面前的浩瀚的真理海洋，却还完全是个谜。

中国古代数学发展史

数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

‘贰’ 布尔巴基学派的介绍

数学的社会性质从来就存在，但在古代主要表现在它的来源和广泛应用上，以及成为教育的内容。到近代，数学的研究机构和学术团体得以产生，正式的学术会议也已出现。从第二次世界大战以来，在这方面又有了新的发展。有了专门的班子从事数学研究，可以说，有组织的集团性研究进一步加强，法国布尔巴基学派就是一个典型代表。

‘叁’ 布尔巴基学派的工作影响

布尔巴基成员力图把整个数学建立在集合论的基础上，尽管这一开始就遭到了许多人的反对。几十年上百年形成的代数几何学，它那大大小小的众多成果，能不能在抽象代数和拓扑的基础上构成一座严整的数学大厦，这一问题就成了布尔巴基观点的试金石。1935年底，布尔巴基的成员们一致同意以数学结构作为分类数学理论的基本原则。“数学结构”的观念是布尔巴基学派的一大重要发明。这一思想的来源是公理化方法，布尔巴基采用这一方法，反对将数学分为：分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类。他们认为全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、和拓扑结构。所谓结构就是“表示各种各样的概念的共同特征仅在于他们可以应用到各种元素的集合上。而这些元素的性质并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系，人们从给定的关系所满足的条件（他们是结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论。”于是一个数学学科可能由几种结构混合而成，同时每一类型结构中又有着不同的层次。比如实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构。三种结构有机结合在一起，比如李群是特殊的拓扑群，是拓扑结构和群结构相互结合而成。因此，数学的分类不再象过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的是同样一种结构，也就说它们“同构”，可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。布尔巴基学派的主要着作是《数学原理》。它对整个数学作完全公理化处理的 第一个目标是研究所谓“分析的基本结构”。这在《数学原理》中属于第i部分，
第i部分又分为：
第Ⅰ卷 集合论 第Ⅳ卷 一元实变函数
第Ⅱ卷 代数 第Ⅴ卷 拓扑向量空间
第Ⅲ卷 一般拓扑学 第Ⅵ卷 积分论
正如布尔巴基学派所言：“从现在起，数学具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，它用单一的观点支配着广大的领域，它们原先处于完全杂乱无章的状况，现在已经由公理方法统一起来了。”“由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象，数学就表现为数学结构的仓库。” 二战前，布尔巴基只完成了《数学原理》第Ⅰ部分的第Ⅰ卷“集合论”中的一个分册—“结果”。这本还不到50页的小册子在1939年首次出版，之后于1940年出版《一般拓扑学》的第一、第二章，1942年出版第三、第四章及《代数学》的第一 章。这四本书已经反映出布尔巴基精神，而且是《数学原理》的基础。《数学原理》的各分册都是按照严格的逻辑顺序来编排的。在某一处用到的概念或结果，一定都在以前各卷、各分册中出现过。这种严格而精确的风格也有其优 点：所有主要结果都清楚而确切地表述出来，成为一个完美的体系。所以，布尔巴 基的《数学原理》以他的严格准确而成为标准参考书，并且是战后的数学文献中被人引用次数最多的书籍之一。布尔巴基学派的思想及写作风格成为青年人仿效的对象，很快地“布尔巴基的”便成了一个专门的名字就风靡了欧美数学界。比如说，众所周知，在一门科学成熟之前，名词的运用是非常混乱的，各人自用一套，而每人又有一批追随者沿袭他的用法，这就造成了互相理解的困难。凭着布尔巴基的各位大师的威望，许多数学名词，尤其是拓扑学及泛函的新词，都以布尔巴基为准。正是布尔巴基的《数学原理》使第二次世界大战以后的数学名词得到了空前的统一。随着名词的统一，使数学符号也统一起来了。数学文献中最常用的自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合，都按布尔巴基的用法分别用 n、z 、q 、r、c 来表示。使布尔巴基更为出名的是他的许多成员在战前和战后的工作开始为大家所知，尤其是代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等方面的成就。这使得布尔巴基的活动更加引人注目了。可以说，60年代中期，布尔巴基的声望达到了顶峰。布尔巴基讨论班的议题无疑都是当时数学的最新成就。在国际数学界，布尔巴基的几位成员都有着重要的影响，连他们的一般报告和着作都引起很多人注意。
在20世纪的数学发展过程中，布尔巴基学派起着承前启后的作用。他们把人类长期积累起来的数学知识按照数学结构整理成为一个井井有条博大精深的体系。他们的《数学原理》成为一部新的经典着作，还是许多研究工作的出发点与参考指南。这个体系连同他们对数学的贡献，已经无可争辩地成为当代数学的一个重要组成部分，并成为蓬勃发展的数学科学的主流。

‘肆’ 什么是形式化什么是形式模型

形式化是现代数学的特征之一，这一点是无需置疑的。但不少数学家注意到目前我国的数学教学中存在着过度形式化的问题，往往将丰富多彩的数学的思想淹没在形式化的海洋中，因此，提出了适度“非形式化”的观点。这一观点提出的另一理由，是一些数学家提出数学研究的方式正在发生着变化。
1．数学课程和数学教学中存在着过度形式化的现象
20世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义学派盛极一时，数学的呈现形式是从一般的集合论开始，用公理体系、逻辑演绎规则。希尔伯特的形式主义哲学观念，在学术上有重要的价值：数学的研究对象不是某个特定的物质形态，而是“思想材料”；数学是从所有自然现象和社会现象中抽象出来的数量规律。20世纪中叶，法国的布尔巴基学派独树一帜，认为数学就是一些结构的组合，无所谓什么实际意义。这种结构主义的哲学观，把希尔伯特的形式主义哲学观更向前推进一步。布尔巴基学派把数学整理了一番，用“结构”把数学知识梳理成一个井然有序的体系，功不可没。
但是，形式主义强调形式，结构主义把数学看成结构，其共同的问题是容易造成脱离现实。J.v. Neumann 先生早在1947年就说过：“远离了它的实践的源泉之后，或者太多‘抽象’的近亲繁殖之后，数学学科就处在退化危险之中。在开始的时候，款式通常是经典的；当它有迹象表明成为巴洛克式时，那么，危险的信号就升起了。” R.Courant先生也针对此尖锐地指出：“两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机。不幸的是数学教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。……忽视应用，忽视数学与其它领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是对的；在重视智力训练的人们中必然激起强烈的反感”。
在哲学上，哥德尔的两个不完备性定理，表明希尔伯特形式主义统一整个数学是不可能的。同时，数学在军事、经济、科学技术上的应用远远超出“结构”的限制。大约在1970年左右，世界各国的数学家把目光转向“现实世界”，关注现实的数学问题，数学应用成为数学发展的重要动力之一。这一点前面已有专门的论述。接着，数学的教育形态也跟着发生了变化。从1980年代开始，西方数学教育界提出“非形式化数学教学（informal mathematics teaching）”的口号，要求中小学的数学教学摆脱过度形式化的束缚，主张联系学生的日常生活实际，增加数学问题的趣味性。总之，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。

‘伍’ 代数几何学的布尔巴基学派

从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil（韦伊）用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》，Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜想（不是Deligne证明的那个Weil conjecture），为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre（塞尔）评价那部书时说：这本三百页的巨着很难懂，而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的《代数几何原理》所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E.Noether及其学派发展的交换代数理论和语言，提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。
所幸的是，书写出来后，先前那个猜想也被Weil证明了。这个事件意义重大，预示了以后的Bourbaki精神，为了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才有成效性，才能用来解决更加困难的问题。

‘陆’ 布尔巴基学派的简介

在1914年到1918年的大战中，德国政府和法国政府对于关系到科学的问题的看法并不一样。德国人让他们的学者去研究科学，通过他们的发现以及对发明或者方法的改进来提高军队的力量，结果这些都有助于德国战斗力的增长。而法国人，至少在战争初期一两年间，认为人人应该上前线，因而年轻的科学家正如其他的法国人一样也到前线服役。这表现一种民主和爱国主义精神，对此我们只能表示敬佩，但是其后果对于年轻的法国科学家来说却是可怕的大屠杀。高等师范院校的优秀学生们有三分之二是被战争毁掉的。20世纪20年代，一些百里挑一的天才人物如魏伊、德尔萨特、嘉当、迪多涅、薛华荔等进入万人竞试的高等师范学校。但他们没有碰到什么年轻教师，而都是些着名的老头子，基础课就是由他们负责教授。这些老头们的确很着名，不过他们只知道他们在20岁或30岁时学的数学，而 对20世纪的数学他们认识得相当模糊。
这个时期，德国数学突飞猛进，涌现了一批第一流的数学家：诺特、西格尔、阿廷、哈塞等等，而法国人还故步自封，对敌国的进展不甚了解，对新兴的莫斯科拓扑学派和波兰的拓扑和泛函分析学派就更是一无所知。而对其他象冯·诺依曼和黎兹的工作也不理解，只知道栖居在自己的函数论的小天地中。在这里，函数论是至尊无上的。不过，法国人中也有代表先进潮流的数学家如e·嘉当；但是，他超出他同时代人的水平20多年，谁也不理解他的工作。（在庞加莱之后，最先理解他的工作的是赫尔曼·外尔，在十年之中，他是唯一理解嘉当的人。）因此除嘉当之外，其他人完全封闭在 函数论当中了，虽然函数论是重要的，但毕竟只代表数学的一部分。
在进入高师的年轻人中，迪多涅，魏伊，亨·嘉当等人，不满足于法兰西数学界的现状，把触角伸向“函数论王国”之外他们深刻认识到了法国数学同世界先进水平的差距。他们痛切感觉到，如果还继续搞这个方向，法国的数学就肯定要走进死胡同。当然，法国数学家在函数论方面仍然可以很出色，但是在数学的其他方面，人们就会忘掉法国的数学家了。这就会使法国的二百多年的传统中断，因为从费尔马到庞加莱这些最伟大的数学家都总是具有博大全才的数学家的名声，他们既能搞算术和代数，又能搞分析和几何。恰恰是这些有远见的青年人，在法国科学全面落后的情况下，使法国数学在第二次世界大战之后又能保持先进水平，而且影响着整个现代数学的发展。可以说，当时打开那些年轻人通往外在世界的通道只有阿达玛的讨论班。阿达玛是法兰西学院的教授。在年初，他把他认为最重要的论着分配给打算在讨论班上做报告的人。在当时这是件新鲜事，但对青年人的提高大有好处。在1934年阿达玛退休之后，g·儒利雅以稍稍不同的方式继续主持这个讨论班。以更系统的方式去研究从所有方向上进来的伟大的思想。这批年轻人决心象范·德·瓦尔登整理代数学那样，从头来起，把整个数学重新整理一遍，以书的形式来概括现代数学的主要思想，而这也正是布尔巴基学派及其主要着作《数学原理》产生的起源。当时，布尔巴基的大多数成员还不到30岁，年纪稍大些的也不过才30出头。假如他们年纪再大一些，知识再多一些，他们也就永远不会开始这项伟大的事业了。布尔巴基的成员以高度的热情开始进行工作。可是20世纪的数学已经发展到这样一个程度，即每一位数学家都必须专业化。也许只有少数象庞加莱和希尔伯特这样的大数学家才能掌握整个数学。而对于普通的数学家，要想对整个领域有一个全面的认识，并能抓住各个分支的内在关系，那是非常困难的。为了达到原来的目标—对数学所有分支中的基本概念加以阐明，然后在此基础上再集中于专门学科，布尔巴基的成员应该对于他所听到的所有东西都有兴趣，并且在一旦需要时，能够写书中的一章，即便那不是他们的专长。因此他们必须从一开始就要忘掉自己的专业。假如他是位狂热专迷的代数学家，说“我只对代数学有兴趣对其它东西一概不感兴趣”，那么他将永远不会成为布尔巴基的成员。布尔巴基所使用的工作方法极为冗长而且艰苦。他们一年举行两三次集会，一旦大家多多少少一致同意要写一本书或者一章论述某种专题，起草的任务就交给布尔巴基中想要担任的人。这样，他就由一个相当泛泛的计划中开始写一章或几章的初稿。一般来说，他可以自由的筛选材料，一两年之后，将所完成的初稿提交大会，然后一页不漏地大声宣读，接受大家对每个证明的仔细审查，并且受到无情的批评。如果哪一位有前途，有见解的青年被注意到并被邀请参加布尔巴基的一次大会，而且能经受住讨论会上“火球般”的攻击，积极参加讨论，就自然而然被吸收为新成员，但如果他只是保持沉默，下次决不会受到邀请。布尔巴基的成员不定期更换，年龄限制在50岁以下。虽然一个过50岁的人仍然可以是一位非常好的并且极富有成果的数学家，但是他很难接受新思想，接受那些比他年轻25到30岁的人的思想。为了避免这种迟早会导致布尔巴基的分裂的紧张关系，因此一开始,就决定布尔巴基的成员都要在50岁退出。在讨论会上，短兵相接的批判与反批判，不受年龄的限制，即便两人相差20岁，也挡不住年轻的责备年纪大的，说他对这个问题什么也不懂。大家都知道正确对待这种情况的方法是一笑置之。因此，在布尔巴基的成员面前，没有人敢自夸自己是一贯正确的。有时一个题目要几易作者，第一个人的原稿被否定，由第二个人重写，下次大会上第二个人的原稿也许会被撕得粉碎，再由第三个人重新开始。从开始搞某一章到它成书在书店中发卖，其间平均需要经历8到12年。